La transformation par dualité est utilisée de différentes manières en mathématique.

L'une d'elles est la suivante: étant donné un " graphe planaire", c'est -à - dire une famille de points (les sommets), reliés par des arcs ne se rencontrant pas en dehors de leurs extrémités et définissant des faces, on lui associe un autre graphe, appelé dual du premier de la manière suivante: on choisit dans chaque face un pointe( ce seront les sommets du dual ) et on joint deux de ces points par un arc chaque fois que les faces qui les contiennent ont une arête commune. Il peut y avoir réciprocité: le dual du dual (appelé bidual ) peut être le graphe de départ.

Ces diagonales déterminent une partition du polygone de base en triangles dont les sommets sont ceux du polygone, autrement dit, elles réalisent une triangulation de ce polygone. Remarquons que l'indice dont nous avons affecté chaque face du tectoèdre est égal au nombre des diagonales issues du sommet correspondant à cette face. Appelons-le indice du sommet. En raisonnant comme on l'a fait pour les tectoèdres, on peut donc, à partir de la suite des indices, définir une formule du polygone triangulé. Cette formule est, évidemment, la même que celle du tectoèdre associé. Elle définit donc une triangulation et une seule puisque c'est celle du dual d'un tectoèdre de même formule

En considérant comme équivalentes deux triangulations qui ont la même formule, la relation "avoir la même formule" définit une bijection entre l'ensemble des tectoèdres et celui des polygones triangulés. Chaque propriété des tectoèdres a donc son homologue en langage de triangulation...

Par exemple, plaçons-nous en géométrie euclidienne. La somme des angles d'un polygone convexe de n côtés est (n-2)p .Un polygone triangulé contient donc (n-2) triangles. Or chacun des n côtés du polygone est côté d'un triangle de la partition : il y a donc, dans celle-ci, au moins deux triangles qui ont deux côtés communs avec le polygone. A ces deux triangles correspondent deux sommets du tectoèdre d'où partent deux arêtes latérales, donc deux faces triangulaires. On retrouve ainsi le théorème affirmant l'existence d'au moins deux faces triangulaires dans un tectoèdre...

On retrouve également la troncature. Elle se traduit par l'adjonction, au polygone triangulé, d'un triangle supplémentaire, construit sur un de ses côtés vers l'extérieur . Nous appellerons triangle " bordant " un tel triangle. De son sommet ne part aucune diagonale .Cela provoque bien, dans la formule, l'insertion d'un zéro et l'augmentation d'une unité des deux nombres qui l'encadrent dans la formule .

Cette opération définit donc une relation de récurrence que l'on peut appeler filiation entre polygones triangulés L'opération inverse est évidemment aussi possible. Cette filiation se faisant par adjonction successive de triangles bordants, on voit qu'un polygone triangulé contient tous ses "ancêtres" et est contenu dans tous ses descendants (c'était l'inverse pour les tectoèdres)

Il est facile de construire la triangulation correspondant à une formule

donnée;... Dessiner le polygone à trianguler et marquer chaque sommet de son indice lu dans la formule (le choix du premier sommet étant arbitraire). Pour chaque sommet d'indice 0, tracer la diagonale qui joint les deux sommets adjacents et enlever une unité à l'indice de ces derniers. Recommencer ensuite l'opération sur la partie non encore triangulée du polygone, ce qui revient à faire la même opération sur les sommets marqués 1, puis 2 etc…