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6 - Formule et troncature
La troncature se traduit très simplement sur la formule. En effet chaque troncature crée une face triangulaire d'indice 0 et augmente d'une unité le nombre des arêtes sommitales des faces qui lui sont adjacentes (elle transforme l'arête latérale qui leur était commune en arête sommitale).
Cela nous donne la règle suivante :
Pour chaque troncature, on intercale un zéro entre deux termes consécutifs de la formule et on augmente d'une unité les deux nombres ainsi séparés, étant entendu qu'il faut le faire aussi pour les termes extrêmes, car ils sont consécutifs dans le cycle.
L'opération inverse de la troncature, vue au paragraphe précédent se traduit tout aussi simplement sur la formule :
Pour supprimer une troncature, on efface le zéro correspondant dans la formule et on diminue d'une unité les deux indices qu'il séparait
On peut donc obtenir facilement les formules de tous les descendants, par troncature, d'un tectoèdre donné, ainsi que celles de ses ascendants. Par exemple, la formule 1010 du tectoèdre d'ordre 4 donne 20110 dans le sens descendant et 000 (le tétraèdre) dans le sens ascendant. On peut donc " remonter" toute formule jusqu'à celle du tétraèdre, tout en sachant que pour certains tectoèdres, l'opération géométrique correspondante s'arrête au pentaèdre. Nous appellerons retour à l'ancêtre cette opération.
Remarque: Comme les descendants d'un tectoèdre s'obtiennent par des troncatures on peut donc dire qu'un tectoèdre contient tous ses descendants.
La recherche des différentes classes de tectoèdres se ramène donc à une recherche purement numérique, et on peut oublier le contexte géométrique.
La règle de récurrence ci-dessus permet de trouver toutes les formules d'un ordre donné n à partir de celles d'ordre n-1. Ainsi, à partir de la formule 20110 du pentaèdre, en intercalant un zéro à toutes les places possibles, on obtient les 5 descendants suivants :
30 1110 210 210 202 020 201 2010 030 111
mais en ordonnant ces suites comme convenu on s'aperçoit qu'il n'y en a que trois distinctes :
301 110 210 210 202 020
Il y a donc que trois classes de tectoèdres d'ordre 6, et trois seulement : nous les avions déjà trouvées lors de nos manipulations au début de notre étude
Mais, comme le montre l'exemple précédent, la récurrence donne les formules non écrites selon nos conventions et avec des répétitions, la même formule pouvant être obtenue plusieurs fois, à une permutation circulaire ou une inversion près… Cela se produit lorsque la formule de départ présente une symétrie ou une périodicité. Ainsi à l'ordre 5: la formule peut s'écrire 10201, qui montre une symétrie par rapport au terme central 2. Dans ces conditions, il suffit d'intercaler un zéro entre 2 et 0, entre 1 et 0 et entre 1 et 1 ce qui nous donne les 3 formules d'ordre 6 trouvées ci-dessus, et elles seulement, sans avoir à faire de tri.
On pourrait donc déterminer d'abord les particularités de la formule utilisée, afin d'avoir à intercaler un nombre minimum de zéros. Mais lorsqu'il y a plusieurs formules au départ, on le tri reste nécessaire...
Il est finalement plus simple de faire toutes les troncatures (donc d'intercaler un zéro à toutes les places possibles) et de trier ensuite les formules obtenues. Cela peut se faire à la main jusqu'à l'ordre 7, pour lequel on trouve les quatre formules suivantes :
4 011 110 3 102 110 3 020 210 2 201 210
Au-delà, les calculs et le tri à la main deviennent fastidieux, mais ils peuvent être faits par ordinateur. Avec un programme convenable, on trouve ainsi, 27, 82, 228, 733 et 2282 formules respectivement pour les ordres 9, 10, 11, 12 et 13. Mais, lorsque l'ordre augmente, la détermination explicite des formules ne paraît pas utile, d'autant plus que lorsque les indices des faces s'écrivent avec plus de un chiffre (à partir de l'ordre 13), la lecture des formules devient difficile. Aussi, nous nous contenterons d'en calculer le nombre en fonction de l'ordre... En fait le nombre des formules augmente rapidement avec l'ordre et même un ordinateur atteint rapidement ses limites. .Il nous restera donc à trouver un autre moyen pour dénombrer le tectoèdres d'un ordre donné...