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Nous avons obtenu des tectoèdres par des troncatures successives à partir d'un tétraèdre. Inversement, tout tectoèdre peut-il s'obtenir par des troncatures à partir d'un tétraèdre? La réponse est oui à une exception près...

En effet, considérons un tectoèdre T d'ordre n et soit AB le côté de la base qui définit l'une de ses faces triangulaires. Soit α et β les mesures en radians des angles en A et B du polygone de base (figure ci-contre).

Le point S n'existe que si (α + β) > π

En effet, si (α + β) > π. Les prolongements des cotιs adjacents au cτtι AB se coupent alors en un point S tel que le triangle SAB est, tout entier, extιrieur au polygone de base. Si C est le troisiθme sommet de la face triangulaire considιrιe, le tétraèdre SABC est extérieur au polyèdre T. Réunissons ce tétraèdre et le tectoèdre T, nous obtenons encore un tectoèdre, mais d'ordre (n-1) qui contient T.

L'opération que nous venons de faire est exactement l'opération inverse de la troncature triangulaire. Elle est donc possible chaque fois qu'il existe une face triangulaire pour laquelle la condition ( α + β) > π est vιrifiιe. Or dans un polygone convexe de plus de quatre cτtιs, la somme de quatre angles quelconques de ce polygone est toujours supιrieure ΰ. 2 π.

En effet, s'il existait quatre angles dont la somme soit inférieure ou égale à 2π, la mesure de chacun des (n-4) autres angles étant strictement inférieure à π, la somme des angles du polygone serait strictement inférieure à 2π + (n-4)π, soit (n-2) π.. Or, dans un polygone convexe de n cτtιs, la somme des angles est égale à (n-2) π. C'est donc impossible.

Si la condition. (α + β) > π n'est pas vιrifiιe pour l'une des faces triangulaires, elle l'est donc nιcessairement pour une autre, puisqu'il y en a au moins deux.

Pour n= 4, le cas du pentaèdre, par contre, la somme des quatre angles du polygone est 2π. Si donc, pour une des faces triangulaires , on a α + β = π, il en est de mκme pour l'autre, et la base a deux cτtιs parallθles: c'est un trapθze (pouvant κtre un parallιlogramme ou un rectangle ). Les faces triangulaires sont relatives aux cτté "obliques" du trapèze

Dans ce cas, le point S n'existe pour aucune des deux faces triangulaires. Ce tectoèdre particulier (figure ci-contre) ne peut donc pas être obtenu par troncature à partir d'un tétraèdre. Il en est de même de ses descendants par troncatures: ils sont caractérisées par l'existence d'une arête sommitale parallèle au plan de base, intersection des faces déterminées par deux côtés parallèles de cette base. D'où la conclusion:

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