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3 - Dénombrement des faces et des arêtes
Considérons un tectoèdre d'ordre n (n > 3) et appelons s1, s2 et s3 le nombre des sommets qui sont respectivement de type 1, 2 et 3. Puisque par un sommet de type 1 il passe deux arêtes latérales, une seule par un sommet de type 2 et aucune par un sommet de type3, le nombre des arêtes latérales est donc : 2 s1 + s2. Mais ce nombre est aussi égal à n, puisqu'il passe une arête latérale, et une seule, par chaque sommet de la base, donc
(1) 2 s1 + s2 = n
D'autre part, en comptant les arêtes sommitales issues des différents sommets (une par sommet de type 1, deux par sommet de type 2 et trois par sommet de type 3), on trouve un total de
s1 + 2 s2 + 3 s3.
Mais dans ce nombre, chaque arête est comptée deux fois; leur nombre n'est donc que la moitié du précédent. Finalement, en tenant compte de la base, le nombre total des sommets du tectoèdre est S = n + s1 + s2 + s3,
celui des arêtes A = 2n +1/2 (s1 + 2 s2 + 3 s3)
et celui des faces F = n+1
En utilisant la relation(1) ci-dessus, ces trois nombres s'écrivent aussi
S = 2n + s3 - s1 A = 3n + 3/2 (s3 - s1) F = n+1
Or, dans un polyèdre, ces trois nombres sont liés par la relation d'EULER.:
F + S - A = 2.
Ce qui donne après réduction :
(2) s1 = s 3 + 2
Des relations (1) et (2) nous déduisons que 2 £ s1 £ n /2
Mais le nombre s1 des sommets de type 1 est aussi celui des faces triangulaires, d'où le
Théorème 1
Le nombre des faces triangulaires d'un tectoèdre d'ordre n est au moins égal à 2 et au plus égal à n / 2
Si s3 = 0,s1 = 2 le tectoèdre a deux faces triangulaires seulement. Ses arêtes sommitales forment alors une "ligne de crête" dont les extrémités sont les sommets de ces deux faces. C'est le cas de deux des tectoèdres d'ordre 6 vus ci-dessus (fig 2).
Si s3 ¹ 0, pour chaque sommet de type 3, la ligne de crête se subdivise en deux branches, et chacune d'elles, si elle ne se subdivise pas à son tour, aboutit au sommet d'une face triangulaire. Il y a donc, pour chaque sommet de type 3, une face triangulaire supplémentaire.
Il est facile d'obtenir des tectoèdres n'ayant que deux faces triangulaires. Reprenons les manipulations du §1 et remarquons que chaque troncature ajoute une face triangulaire au tectoèdre de départ et remplace un sommet de la base par deux autres. Si chaque nouvelle troncature est faite systématiquement sur l'un de ces deux sommets, le nombre des faces triangulaires ne varie pas et reste égal à 2.
Il est facile aussi d'obtenir des tectoèdres dont le nombre de faces triangulaires est maximum. Si, Ë partir d'un tectoÌdre d'ordre n, on tronque tous les sommets de la base, on obtient un tectoÌdre d'ordre pair 2n qui a n faces triangulaires, soit le nombre maximum possible. Si Ë partir d'un tectoÌdre d'ordre n+1, on tronque tous les sommets de la base, sauf un, on obtient un tectoÌdre d'ordre impair 2n+1 qui a n faces triangulaires, soit ┌galement le maximum.
Par ailleurs, en tenant compte des relations (1) et (2 ) ci-dessus, on constate que le nombre des sommets et celui des arêtes, comme celui des faces, sont indépendants de la forme du tectoèdre et ne dépendent que de son ordre :
tous les sommets de la base, sauf un, on obtient un tectoÌdre d'ordre impair 2n+1 qui a n faces triangulaires, soit ┌galement le maximum.
Par ailleurs, en tenant compte des relations (1) et (2 ) ci-dessus, on constate que le nombre des sommets, celui des arêtes, et celui des faces, sont indépendants de la forme du tectoèdre et ne dépendent que de son ordre :
Théorème 2
Dans tout tectoèdre d'ordre n, il y a, en comptant la base, (n +1) faces, (2n-3) arêtes - dont n latérales et (n-3) sommitales - et ( n-2) sommets .
Nombre maximum de côtés d'une face.
Théorème 3
Dans un tectoèdre d'ordre n ,le nombre maximum de côtés d'une face est n.
Dans un tel tectoèdre, toute face a un côté commun avec la base et chacun de ses autres côtés est commun avec l'une des (n-1) autres faces. Le nombre des côtés d'une face est donc au plus égal à n.
Si une face a effectivement n côtés, elle a donc un côté commun avec toutes les autres faces du tectoèdre et peut jouer le rôle de base de celui-ci. Les côtés de cette face sont constitués par: un côté AB de la base et (n-1) arêtes, à savoir les deux arêtes latérales issues de A et B et (n-3) arêtes sommitales, soit toutes les arêtes sommitales du tectoèdre.
Le nombre total d es arêtes étant ( 2n-3), les (n-2 ) autres arêtes du tectoèdre sont donc latérales et joignent les sommets de cette face, autres que A et B, aux sommets correspondants de la base. Deux des autres faces du tectoèdre sont triangulaires et les (n-3) autres sont quadrangulaires (figure ci-contre).
Il est facile d'obtenir un tel polyèdre à deux bases: il suffit de " couper " un tectoèdre quelconque d'ordre n en deux parties par un plan passant par un des côtés de la base et ne rencontrant aucune arête sommitale
(il ne coupe donc que des arêtes latérales) . Les deux polyèdres ainsi obtenus sont encore des tectoèdres. La partie inférieure qui contient la base est un tectoèdre à deux bases , et la partie supérieure a les mêmes caractéristiques que le tectoèdre de départ.
Exemples :
Tectoèdre d'ordre 3 :
C'est évidemment un tétraèdre. Il est tectoèdre de quatre manières différentes : chaque face ayant une arête commune avec toutes les autres, peut jouer le rôle de base.Tectoèdre d'ordre 4 :
